回転行列

図形の回転と回転行列

ユークリッド空間において図形を回転させる時、座標値（座標ベクトル）に回転行列をかけることにより回転変換することができる

２次元の回転行列

\[ R(\theta)= \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix} \]

2次元の回転行列を使った回転変換 \[ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} \] すなわち \[ x' = x \cos \theta - y \sin \theta \] \[ y' = x \sin \theta + y \cos \theta \] 実行結果

原点（黒丸）を中心に正方形（黒）を正方向（時計回り）に
30度の回転変換を施した結果（赤）
※コンピュータスクリーンの座標系はY座標が下向きが正になっているので、
通常の座標系と逆向きになることに注意
GIFイメージ

コード


//30度正方向（時計回り）に回転
theta=30*Math.PI/180;
rx=x*Math.cos(theta)-y*Math.sin(theta);
ry=x*Math.sin(theta)+y*Math.cos(theta);

サンプルコード

３次元の回転行列

x軸回転 \[ R_x(\theta)= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix} \] y軸回転 \[ R_y(\theta)= \begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & \sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ - \sin \theta & 0 & \cos \theta \\ \end{bmatrix} \] z軸回転 \[ R_z(\theta)= \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

3次元の回転行列を使った回転変換

x軸回転

X軸（赤）を中心に立方体を正方向（＋Xから見て時計回り）に
30度の回転変換を施した結果（グレー）
※コンピュータスクリーンの座標系はY座標が下向きが正になっているので、
通常の座標系と逆向きになることに注意
GIFイメージ

コード


//30度正方向（時計回り）にX軸回転
theta=30*Math.PI/180;
ry=y*Math.cos(theta)-z*Math.sin(theta);
rz=y*Math.sin(theta)+z*Math.cos(theta);

y軸回転

Y軸（緑）を中心に立方体を正方向（＋Yから見て時計回り）に
30度の回転変換を施した結果（グレー）
※コンピュータスクリーンの座標系はY座標が下向きが正になっているので、
通常の座標系と逆向きになることに注意
GIFイメージ

コード


//30度正方向（時計回り）にY軸回転
theta=30*Math.PI/180;
rx=x*Math.cos(theta)+z*Math.sin(theta);
rz=-x*Math.sin(theta)+z*Math.cos(theta);

z軸回転

Z軸（青）を中心に立方体を正方向（＋Zから見て時計回り）に
30度の回転変換を施した結果（グレー）
※コンピュータスクリーンの座標系はY座標が下向きが正になっているので、
通常の座標系と逆向きになることに注意
GIFイメージ

コード


//30度正方向（時計回り）にZ軸回転
theta=30*Math.PI/180;
rx=x*Math.cos(theta)-y*Math.sin(theta);
ry=x*Math.sin(theta)+y*Math.cos(theta);

サンプルコード

Javaプログラミング

回転行列