- ２階線形微分方程式
- 複数の解の定数倍の線形結合もまた解となる
\begin{equation}
y''+P(x)y'+Q(x)y=0 \tag{1} \\
\end{equation}
\((1)\)の解として２つの解\(y=y_1\),\(y=y_2\)があったとする
それぞれの解を\((1)\)に代入すると
\(y=y_1\)の場合は
\begin{equation}
y''_1+P(x)y'_1+Q(x)y_1=0 \tag{2}\\
\end{equation}
\(y=y_2\)の場合は
\begin{equation}
y''_2+P(x)y'_2+Q(x)y_2=0 \tag{3}\\
\end{equation}
となる。
ここで２つの解の定数倍の線形結合を新たな解を
\begin{equation}
y_3=C_1y_1+C_2y_2 \tag{4}\\
\end{equation}
とする。（\(C_1\),\(C_2\)は任意の定数）
\(y=y_3\)を\((1)\)に代入して
\begin{equation}
y''_3+P(x)y'_3+Q(x)y_3\\
\end{equation}
\((1)\)\((4)\)より
\begin{equation}
=(C_1y_1+C_2y_2)''+P(x)(C_1y_1+C_2y_2)'+Q(x)(C_1y1+C_2y_2)\\
=C_1(y''_1+P(x)y'_1+Q(x)y_1)+C_2(y''_2+P(x)y'_2+Q(x)y_2)
\end{equation}
\((2)\)\((3)\)より
\begin{equation}
=C_1\cdot0+C_2\cdot0=0
\end{equation}
\(\therefore\) \(y=y_1\),\(y=y_2\)の解をもつとき、その定数倍の線形結合も解となる。